КИНЕМАТИКА
Кинематика точки – основные сведения

Кинематика является одним из разделов теоретической механики. В данном разделе изучается движение, происходящее в пространстве и времени, механических систем, твердых тел или материальных точек безотносительно к причинам, которые вызывают это движение. При движении некоторой точки набор местоположений образует линию (плоскую или пространственную кривую) - траекторию точки. Движение точки определяется зависимостью положения точки в пространстве от времени.
Движение точки M в неподвижной системе отсчета x, y, z определяется заданием уравнений движения как трех функций в виде зависимостей координат точки от времени:
\( x=f_1(t), y=f_2(t), z=f_3(t). \)
Подставляя в данные уравнения движения значение времени можно определить координаты точки в пространстве в этот момент времени.
Для нахождения уравнения траектории точки в координатной форме необходимо из уравнений движения исключить время, тогда получатся следующие зависимости: для пространственной системы координат x, y, z это уравнения поверхностей, линия пересечения которых является траекторией точки:
\( \phi_1(x, y) = 0, \phi_2(y, z)=0. \)
Для плоской системы координат x, y – это зависимость \( \phi(x, y) =0 \).
По заданным уравнениям движения точки можно также определить скорость и ускорение точки. Скоростью точки является первая производная по времени от радиуса-вектора, определяющего положение рассматриваемой точки в пространстве. Связь между радиус-вектором точки и скоростью можно записать в следующем виде:
\( \vec{v}= \frac{d \vec{r}}{dt}=v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z \vec{k}. \)
Проекции скорости на оси неподвижной системы отсчета:
\( v_x = \frac{dx}{dt} = \dot{x}, v_y = \frac{dy}{dt} = \dot{y}, v_z = \frac{dz}{dt} = \dot{z}. \)
Зная проекции на оси координат можно найти модель по следующей формуле:
\( v = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}, \)
при этом направление скорости, направленной по касательной к траектории точки, определяется с помощью направляющих коси-нусов:
\( \cos{(\vec{v}, \vec{i})} = \frac{v_x}{v}, \cos{(\vec{v}, \vec{j})} = \frac{v_y}{v}, \cos{(\vec{v}, \vec{k})} = \frac{v_z}{v}. \)
Ускорение точки характеризует быстроту изменения скорости и равно первой производной от скорости точки по времени или второй производной от радиуса-вектора \( \vec{r} \) по времени.
\( \vec{a}= \frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}. \)
Проекции ускорения на оси неподвижной системы отсчета:
\( a_x = \frac{dv_x}{dt} = \ddot{x}, a_y = \frac{dv_y}{dt} = \ddot{y}, a_z = \frac{dv_z}{dt} = \ddot{z}. \)
Зная проекции на оси координат можно найти модель по следующей формуле:
\( a = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}, \)
При этом направление ускорения, направленного (в общем случае) в сторону вогнутости траектории точки, определяется с помощью направляющих косинусов:
\( \cos{(\vec{a}, \vec{i})} = \frac{a_x}{a}, \cos{(\vec{a}, \vec{j})} = \frac{a_y}{a}, \cos{(\vec{a}, \vec{k})} = \frac{a_z}{a}. \)
Если движение точки задано в естественной форме, то скорость точки можно определить по следующим формулам:
\( \vec{v} = \frac{s}{t} \vec{\tau}=v_{\tau} \vec{\tau} \),
\( v_{\tau} = \frac{ds}{dt} = \dot{s} \).
Ускорение в этом случае удобно определять через проекции на естественные оси координат – прямоугольную систему координат, состоящую из следующих осей: касательной – направленной в сторону возрастания дуговой координаты, главной нормали – направленной в сторону вогнутости траектории, бинормали – направленной так, чтобы образовывалась правая система координат.
Ускорение точки лежит в плоскости образованной касательной и главной нормалью и определяется по следующим формулам:
\( \vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_n \),
\( a_{\tau} = \frac{dv_{\tau}}{dt}, a_n=\frac{v^2}{\rho}, \)
\( a = \sqrt{a_{\tau}^2+a_n^2} = \sqrt{\dot{v}_{\tau}^2+{(\frac{v^2}{\rho})^2}}. \)
Для нахождения радиуса кривизны траектории удобно пользоваться формулой для определения проекции ускорения на главную нормаль:
\( a_n=\frac{v^2}{\rho}, \rho=\frac{v^2}{a_n}. \)
Решение задачи по данной теме рекомендуется производить в следующей последовательности (все зависимости рекомендуется получать сначала в общем виде, после чего выполнять подстановку и вычисления, если это необходимо):
– на основании условий задачи с учетом выбранной системы координат составляются или выписываются уравнения движения точки (находится зависимость координат исследуемой точки как функции времени);
– имея данные уравнения движения точки можно для любого момента времени определить положение рассматриваемой точки, найти траекторию и ответить на другие вопросы, касающиеся движения точки;
– определить проекции скорости на оси координат по полученным ранее уравнениям движения, после чего определить скорость по модулю и направлению;
– определить проекции ускорения на оси координат по полученным ранее проекциям скоростей, после чего определить ускорение по модулю и направлению;
– определить проекцию ускорения точки на касательную, после чего определить проекцию ускорения на главную нормаль и затем найти радиус кривизны траектории.

Вращательное движение твердого тела – основные сведения

При вращательном движении твердого тела угол поворота из-меняется в зависимости от времени и является законом вращательного движения:
\( \phi = f(t) \).
Также вращательное движение характеризуется угловой скоростью и угловым ускорением, характеризующих быстроту изменения угла поворота и угловой скорости соответственно:
\( \omega = \frac{d \phi}{dt} = \dot{\phi}, \epsilon = \frac{d \omega}{dt} = \dot{\omega}. \)
По имеющимся законам изменения угла поворота, угловой скорости и углового ускорения можно также определить скорость и ускорение произвольной точки твердого тела. Скорость точки можно определить по формуле:
\( v = \omega R. \)
Ускорение точки можно определить после предварительного вычисления касательного и нормального ускорений:
\( \vec{a}= \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_n, \)
\( a_{\tau}= \epsilon R, a_n = {\omega}^2 R, \)
\( a = \sqrt{a_{\tau}^2+a_n^2} = \sqrt{(\epsilon R)^2+{(\omega^2 R)^2}}=R \sqrt{\epsilon^2+\omega ^4}. \)
Решение задачи по данной теме рекомендуется производить в следующей последовательности (все зависимости рекомендуется получать сначала в общем виде, после чего выполнять подстановку и вычисления, если это необходимо):
– на основании условий задачи с учетом расчетной схемы определяются направления скоростей твердых тел;
– имея закон движения твердого тела можно для любого мо-мента времени определить кинематические характеристики твердых тел, а также скорости и ускорения точек твердого тела и ответить на другие вопросы, касающиеся движения твердых тел и их точек.

Кинематика сложного движения точки

Движение, совершаемое точкой одновременно относительно двух систем координат, одна из которых условно считается неподвижной системой отсчета, а другая – движется относительно этой системы координат, называется сложным движением точки.
Абсолютным движением точки называется движение точки относительно неподвижной системы отсчета. Траектория этого движения называется абсолютной. Абсолютной скоростью точки называется скорость точки относительно неподвижной системы отсчета. Абсолютным ускорением точки называется ускорение точки относительно неподвижной системы отсчета. Относительным движением точки называется движение точки относительно подвижной системы координат. Относительной скоростью точки называется скорость точки относительно подвижной системы координат. Относительным ускорением точки называется ускорение точки относительно подвижной системы координат.
Переносным движением подвижной системы координат называется движение, совершаемое подвижной системой координат вместе с неизменно связанным с ней пространством и движущейся в нем точкой относительно неподвижной системы. Переносной скоростью точки называется скорость той точки пространства, связанного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка. Переносным ускорением точки называется ускорение той точки пространства, связанного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка.
Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей этой точки:
\( \vec{v}_a = \vec{v}_r + \vec{v}_e. \)
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисового ускорений:
\( \vec{a}_a = \vec{a}_r + \vec{a}_e + \vec{a}_c\)
Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости твердого тела, с которым связана подвижная система отсчета, на скорость точки относительно этой подвижной системы:
\( \vec{a}_c = 2 \vec{\omega}_e \times \vec{v}_r \);
\( a_c = 2 \omega_e v_r \sin{(\vec{\omega}_e, \vec{v}_r)} \).
Вектор ускорения Кориолиса направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор переносной угловой скорости и относительной линейной скорости так, чтобы с конца получаемого вектора ускорения Кориолиса был виден поворот по наименьшему углу от вектора переносной угловой скорости к вектору относительной линейной скорости, происходящим против хода часовой стрелки.