Лекция 1 (статика)

Основные понятия и определения статики. Аксиомы статики. Связи и их реакции. Система сходящихся сил. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей. Условия равновесия системы сходящихся сил в векторной и координатной формах. Момент силы относительно точки точки и оси. Связь между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно любой точки, лежащей на этой оси.

При изучении статики будут рассмотрены следующие темы:
1. Введение в статику, где внимание будет уделено предмету статики и её месту в теоретической механике, основным моделям, которыми являются материальная точка и абсолютно твердое тело. Будут рассмотрены аксиомы статики и основные векторные операции.
2. Силы и системы сил, гле внимание будет уделено понятию силы, её характеристике, линии действия. Будут рассмотрены эквивалентные системы сил, сложение и разложение сил на составляющие, система сходящихся сил, плоская и пространственная системы сил.
3. Моменты сил, которые наряду с вектором силы являются важной составляющей всей механики. Это момент силы относительно точки, момент силы относительно оси, теорема Вариньона, инварианты системы сил.
4. Пара сил, как особая система: понятие пары сил, моменты пары сил, эквивалентность пар.
5. Произвольная система сил: приведение системы сил к центру, главный вектор и главный момент.
6. Условия равновесия абсолютно твердого тела: плоская система сил, пространственная система сил.
7. Центр тяжести: центр параллельных сил, центр тяжести материальных точек, методы определения центра тяжести.
8. Трение: равновесие с учетом трения.
Статика является разделом теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием приложенных к ним сил, а также операции преобразования систем сил в эквивалентные. Под равновесием рассматриваемого тела понимается такое состояние этого тела по отношению к другим телам, играющим роль системы отсчета, при котором оно сохраняет покой или равномерное прямолинейное движение. В статике, в отличие от других разделов теоретической механики (кинематика и динамика) законы движения не рассматриваются, а исследуются состояния механических систем, при которых они сохраняют покой или движутся равномерно и прямолинейно, а условия равновесия формулируются в терминах сил и моментов сил. Основными задачами статики являются: определение условий равновесия механических систем, нахождение реакций связей, деуствующих на механические системы, приведение систем сил, действующих на механическую систему к заданному центру и их упрощение. Равновесием будем понимать такое состояние механической системы, при котором геометрическое положение всех ее точек остается неизменным с течением времени.

Сила - векторная величина в пространстве, характеризующая механическое взаимодействие тел. Сила характеризуется следующими параметрами: модулем, направлением, линией действия, точкой приложения. На рисунке показаны: вектор силы, точка приложения силы, линия действия силы. Силу, как пространственный вектор, можно рассмотреть в декартовой системе координат.

Тогда вектор силы можно записать через проекции силы на оси координат и единичные вектора, соответствующие осям координат: \( \vec{F} = F_x \vec{i} + F_y \vec{j} + F_z \vec{k} \) .

Основными моделями, которые можно назвать идеализированными, используемыми в теоретической механике являются материальная точка и абсолютно твердое тело. Материальной точкой будем называть тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями сформулированными в задаче. При этом будем считать, что вся масса тела сосредоточена в одной геометрической точке. Абсолютно твердым телом будем называть такое тело, в котором расстояние между любыми двумя точками остается неизменным при любых воздействиях. Данное понятие является абстрактным, однако, во многих инженерных задачах, использование данной модели дает достаточно точные результаты, совпадающие с реальными значениями. Наряду с этим, важным понятием является эквивалентность систем сил, которое означает, что одна система сил может быть заменена другой системой сил без нарушения условий существующего равновесия или иного состояния механической системы или твердого тела.
Аксиомы
Аксиома 1. Перед формулировкой аксиомы введем понятие эквивалентных систем сил: две системы сил называются эквивалентными, если они оказывают одинаковое механическое действие на твердое тело. Другими словами, эквивалентность систем сил означает, что одна система сил, действующих на механическую систему может быть заменена другой системой сил без нарушения состояния механической системы (равновесия или определенного характера движения). Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то эти силы эквивалентны нулю тогда и только тогда, когда они равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

На рисунке показаны: два вектора силы, точка приложения сил, одна общая линия действия сил. Для данных сил выполняются следующие условия: векторы сил равны по величине и противоположно направлены \( \vec{F}_1 = - \vec{F}_2 , F_1 = F_2 . \) Эквивалентность будем обозначать знаком \( \equiv \), тогда, с учетом аксиомы, эквивалентность нулю запишется как: \( (\vec{F}_1, \vec{F}_2) \equiv 0\).
Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней присоединить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю. Из данной аксиомы можно получить следующее следствие: Действие силы (или системы сил) на абсолютно твердое тело не изменится при переносе силы вдоль линии ее действия в любую другую точку данного тела. Пусть нам дано твердое тело с приложенной к нему в точке А силой \( \vec{F}_A \). Проведем линию действия данной силы, выберем на ней произвольно точку В.
Добавим в точке В систему сил, эквивалентную нулю \( (\vec{F}_{B}^{}, \vec{F}_{B}^{\prime}) \equiv 0\) такую, чтобы \( \vec{F}_{B}^{} = - \vec{F}_{B}^{\prime} , {F}_{A}^{} = {F}_{B}^{\prime} = {F}_{B}^{} . \) Запишем формулами данное следствие. Сначала была сила \( \vec{F}_{А} \), к которой потом добавили систему сил, эквивалентную нулю: \( (\vec{F}_{B}^{}, \vec{F}_{B}^{\prime}) \equiv 0 \). Поэтому \( \vec{F}_{А} \equiv (\vec{F}_{А}, \vec{F}_{B}^{}, \vec{F}_{B}^{\prime}) \). При этом силы \( \vec{F}_{А}^{} \) и \( \vec{F}_{B}^{\prime} \) обладают следующими свойствами: равны по величине, лежат на одной линии действия и направлены в противоположные стороны, а, следовательно, эквивалентны нулю. \( (\vec{F}_{А}^{}, \vec{F}_{B}^{\prime}) \equiv 0\). Значит эту систему можно отнять от имеющейся системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, при этом, действие, которое оказывают силы на твердое тело не изменится. Запишем это с помощью формул: \( \vec{F}_{А} \equiv (\vec{F}_{А}, \vec{F}_{B}^{}, \vec{F}_{B}^{\prime}) \equiv \vec{F}_{B}^{} \). Покажем результат на рисунке. Добавим замечание: для тел, которые могут быть деформированы, перенос силы приводит к изменению напряженного состояния.
Аксиома 3. Всякому действию одного материального тела на другое всегда соответствует равное по величине, но противоположно направленное противодействие.

Аксиома 4. Две силы, приложенные к одной точке твердого тела, имеют равнодействующую, приложенную к той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на данных силах как на сторонах.

\( \vec{R}^{*} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} \)
В случае, если равнодействующая сила получилась равной нулю, можно сделать вывод о том, что механическая система не имеет результирующего поступательного действия на механическую систему.
Аксиома 5. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие силами реакций этих связей.
Ограничения, препятствующие свободному перемещению абсолютно твердого тела в пространстве, называются связями. При этом силы, с которыми связи действуют на тело, препятствующие его перемещению, называются силами реакций связи. Данную аксиому можно рассматривать как одну из основ для практического решения задач статики, так как она позволяет заменить реальные связи силами.
Аксиома 6. Если изменяемое (деформируемое) тело находится под действием некоторой системы сил в равновесии, то равновесие не нарушится и в том случае, если это тело отвердеет (т. е. станет абсолютно твердым).
Далее рассмотрим более подробно реакции связей.
Рассмотрим вопрос сложения сил, как векторных величин. Сложение сил осуществляется по правилам векторной алгебры с учетом обозначений векторов свойственных теоретической механике. Так, геометрическая сумма все сил обозначается и записывается так:
\( \vec{R} = \sum_{k=1}^{N} \vec{F}_{k} \)
В общем случае силы могут быть расположены в пространстве произвольно, однако, есть несколько случаев когда силы расположены определенным образом, как, например, система сходящихся сил.
Системой сходящихся сил называется такая система сил, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке.

Наряду с вектором силы обособленно стоит такое понятие, как момент силы. Момент силы характеризует способность силы оказывать вращательное действие силы на механическую систему или твердое тело, способное вызвать движение. В общем случае момент силы является векторной величиной, но, довольно часто, при решении задач используют алгебраический момент силы.
Дадим определения моментов силы.
Векторное определение момента силы:
Моментом силы \( \vec{F} \) относительно точки произвольной точки О называется векторная величина \( \vec{m}_O \), равная векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы \( \vec{r} \) на вектор силы \( \vec{F} \): \( \vec{m}_O ( \vec{F} ) = \vec{r} \times \vec{F} \). Алгебраическое определение момента силы:
Моментом силы относительно точки называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы, момент силы относительно точки считается положительным, если сила стремится вращать тело вокруг заданного центра против хода часовой стрелки, и отрицательным - по часовой стрелке, момент силы относительно точки не зависит от переноса силы вдоль линии ее действия и равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Продемонстрируем определение векторного момента на рисунке.

Зададим точку О, радиус-вектор \( \vec{r} \), силу \( \vec{F} \), кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы \( h \). Из рисунка видно, что вращательный эффект силы \( \vec{F} \) относительно точки O зависит от модуля силы \( \vec{F} \) и кратчайшего расстояния h от точки O до линии действия силы. Это кратчайшее расстояние h называется плечом силы относительно данной точки. Также, вращательный эффект силы зависит от положения в пространстве плоскости поворота треугольника OAB, проходящей через моментную точку O и линию действия силы \( \vec{F} \), и от направления поворота в этой плоскости. При этом вектор-момент силы должен быть направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, в ту сторону, откуда вращение тела силой представляется происходящим против хода часовой стрелки.
Рассмотрим алгебраический момент силы относительно точки. Численно момент силы относительно точки О равен произведению модуля силы \( F \) на кратчайшее рассстояни от точки, относительно которой вычисляется момент, до линии действия силлы (плечо силы) h: \( m_O = \pm F \cdot h \) .
Для пояснения определения алгебраического момента силы рассмотрим следующий рисунок.

Алгебраический момент силы относительно точки имеет знак "+" или "-", который определяется в зависимости от того, куда стремится повернуть силы твердое тело или механческую систему. Условимся считать момент силы относительно точки положительным, если сила стремится повернуть тело относительно моментной точки против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. На первом рисунке момент силы относительно точки имеет отрицательное значение, так как сила стремится повернуть твердое тело по часовой стрелке. Поэтому момент силы для первого рисунка равен: \( m_O = - F \cdot h \). На втором рисунке сила стремится повернуть твердое тело против часовой стрелки, поэтому моент силы относительно точки положителен и вычисляется по формуле: \( m_{O_1} = + F_1 \cdot h_1 \) . Также из рисунка и определения алгебраической величины момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль линии ее действия, так как при подобном переносе кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы не меняется, и равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку, так как в этом случае, кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы будет равно нулю.
В ряде задач требуется оценивать вращательныйэффект действия силы не относительно какой-либо точки, а относительно оси. В этом случае пользуются понятием момента относительно оси. Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина момента проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения этой плоскости с осью. Момент силы относительно оси считается положительным, если наблюдатель, смотрящий с положительного направления оси, видит поворот, совершаемый перпендикулярной составляющей силы, происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее.