Ниже представлена задача относящаяся к разделу "Кинематика точки".
Движение точки задано координатным способом следующими уравнениями движения:
\( x=f_1(t), \quad y=f_2(t). \)
Необходимо:
- найти уравнение траектории точки, изобразив ее на рисунке;
- для заданного момента времени определить: положение точки на траектории и показать его на рисунке;
- записать формулы для нахождения скорости, получить зависимости от скорости времени, а также вычислить и
показать на рисунке скорость для заданного момента времени;
- записать формулы для нахождения ускорения, а также вычислить и
показать на рисунке ускорени для заданного момента времени;
- определить радиус кривизны для заданного момента времени;
- выполнить проверку вычислений на ЭВМ.
\( x = 2 \cos(2 \pi t) + 2.4; \\ y = 4 \sin(2 \pi t) + 4.2; \\ t_1 = 1/3 \mbox{ c}. \)
Для нахождения уравнения траектории точи в явной форме необходимо исключить время из уравнений движения данной точки:
\( x = 2 \cos(2 \pi t) + 2.4; \\ y = 4 \sin(2 \pi t) + 4.2. \)
Исключив время из уравнений получим:
\( \frac {(x - 2.4)^2} {2^2} + \frac {(y - 4.2)^2} {4^2} = 1. \)
Построим уравнение траектории:
Определим положение точки для момента времени 1/3 с, подставив это время в уравнения движения. Получим:
\( x(1/3) = 2 \cos(2 \pi /3) + 2.4 = 1.4 \mbox { см}; \\ y(1/3) = 4 \sin(2 \pi /3) + 4.2 = 7.66 \mbox { см}. \)
Определим проекции скорости на оси координат по уравнениям движения:
\( v_x=\frac{dx}{dt}=-\frac{4\pi}{3}\sin(2 \pi /3); \ \ \ v_x(1/3) = -10.88 \mbox{ см/c}; \\ v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{8\pi}{3}\cos(2 \pi /3); \ \ \ v_y(1/3) = -12.57 \mbox{ см/c}; \\ v = \sqrt {v_x^2+v_y^2}=\sqrt {(-10.88)^2+(-12.57)^2}=16.62 \mbox{ см/c}; \\ \cos(\vec v, \vec i)= \frac {v_x}{v}=\frac {-10.88}{16.62};\\ \cos(\vec v, \vec j)= \frac {v_y}{v}=\frac {-12.57}{16.62}. \)
Определим проекции ускорения на оси координат по уравнениям движения:
\( a_x=\frac{dv_x}{dt}=-\frac{8\pi^2}{9}\cos(2 \pi /3); \ \ \ a_x(1/3) = 39.48 \mbox{ см/c}^2; \\ a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{16\pi^2}{9}\sin(2 \pi /3); \ \ \ a_y(1/3) = -136.76 \mbox{ см/c}^2; \\ a = \sqrt {a_x^2+a_y^2}=\sqrt {(39.48)^2+(-136.76)^2}=142.34 \mbox{ см/c}^2; \\ \cos(\vec a, \vec i)= \frac {a_x}{a}=\frac {39.48}{142.34};\\ \cos(\vec a, \vec j)= \frac {a_y}{a}=\frac {-136.76}{142.34}. \)
Определим проекции ускорения на оси \( \tau, n \):
\( a_\tau(1/3)= \frac{v_xa_x+v_ya_y}{v}=\frac{-10.88\cdot 39.48+(-12.57)\cdot (-136.76)}{16.62}=77.53 \mbox{ см/с}^2; \\ a_n(1/3)=\sqrt{a^2-a_\tau^2}= \sqrt{142.34^2-77.53^2}=119.37\mbox{ см/с}^2. \)
Определим радиус кривизны:
\( \rho(1/3) = \frac{v^2}{a_n}=\frac{16.62^2}{119.37}= 2.32 \mbox{ м}. \)
Дополнительно ниже можно выполнить подобные вычисления для произвольных уравнений движения. Для этого предоставлена возможность ввести уравнения движения в зависмости от времени, ввести исследуемое время и, нажимая кнопку "Вычислить", получить результаты вычислений для введенных параметров. Пример ввода уравнений: t**3-t**2. Значение времени необходимо указать числом.
Результаты вычислений:
Вычисления выполнены для уравнений движения: \( x(t) = 2*cos(2*pi*t) + 2.4; \\\ y(t) = 4*sin(2*pi*t) + 4.2. \)
Положение точки в исследуемый момент времени: \( x( 0.33 ) = 1.44 \mbox{ см}; \\\ y( 0.33 ) = 7.71
\mbox{ см.} \)
Проекция скорости на ось x: \( v_x( 0.33 ) = -11.01\) см/с.
Проекция скорости на ось y: \( v_y( 0.33 ) = -12.11\) см/с.
Значение скорости в момент времени 0.33, с \( v(0.33) = 16.37 \) см/с.
Проекция ускорения на ось x: \( a_x( 0.33 ) = 38.04 \mbox{ см/с}^2 \).
Проекция ускорения на ось y: \( a_y( 0.33 ) = -138.38 \mbox{ см/с}^2 \).
Значение ускорения в момент времени 0.33, с \( a(0.33) = 143.51 \mbox{ см/с}^2 \).
Проекция ускорения на касательную: \( a_{\tau}( 0.33 ) = 76.78 \mbox{ см/с}^2 \).
Проекция ускорения на нормаль: \( a_n( 0.33 ) = 121.25 \mbox{ см/с}^2 \).
Значение ускорения в момент времени 0.33, с \( a(0.33) = 143.51 \mbox{ см/с}^2 \).
Значение радиуса кривизны в момент времени 0.33, с \( \rho(0.33) = 2.21 \mbox{ см} \).