Ниже представлена задача относящаяся к разделу определение сил реакций для одного тела, находящегося в равновесии под действием трех сил.
Однородное твердое тело, в форме шара, подвешено на нити в точке \( A \), удерживаясь в равновесии под углом \( \alpha \) горизонтальной нитью, которая закреплена в точке \( B \). Необходимо найти силы натяжения нитей.
Решение
Для нахождения искомых величин отбросим связи (две нити), наложенные на твердое тело, заменим их силами реакций (силами натяжения нитей \( T_1 \) и \( T_2 \)). Изобразим расчетную схему для дальнейшего решения, указав на ней (из всех получившихся сил реакций после разрыва связей) только силы реакции, необходимые для решения задачи (силы реакций, действующие на рассматриваемое твердое тело). Также покажем вес тела \( P \), приложенный в центре шара, так как по условию задачи тело является однородным:
Из условия задачи и составленной расчетной схемы следует, что линии действия трех указанных сил пересекаются в центре шара (в одной точке), что соответствует теореме о трех силах. Поэтому можно составить новую расченую схему, на которой будут указаны только действующие силы. Дополнительно укажем на расчетной схеме координатные оси, выбрав начало отсчета в центе шара.
По составленной расчетной схеме рассмотрим возможность решения задачи несколькими способами.
Графический способ решения
Так как твердое тело под действием имеющихся сил находится в равновесии, то силовой многоугольник (треугольник для текущей задачи) должен быть замкнут. Если его построить в масштабе, а зтем измерить стороны \( CD, DE, EC \), то эти измерения и дадут ответ на поставленный вопрос.
Однако графический способ неудобен для решения большинства задач статики. Поэтому рассмотрим еще два возможных решения.
Геометрический способ решения
Для этого воспользуемся составленной ранее расчетной схемой:
По составленной расчетной схеме, представляющей собой треугольник сил можно составить следующие уравнения:
\( T_1 = \frac{P}{\cos ( \alpha )}, \mbox T_2 = P \cdot \tan (\alpha). \)
Аналитический способ решения
Для аналитического способа решения выберем расчетную схему, которую составили ранее (с координатными осями):
Так как полученная система сил является сходящейся и плоской, то достаточно составить два уравнения в проекциях на координатные оси для нахождения неизвестных величин:
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{kx} = 0 : T_2 - T_1 \sin \alpha = 0; \)
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{ky} = 0 : T_1 \cos \alpha - P = 0;\)
Из суммы проекций всех сил на ось \( y \) находим \( T_1 \), затем, подставляя в сумму проекций всех сил на ось \( x \) находим \( T_2 \):
\( T_1 = \frac{P}{\cos ( \alpha )}, \mbox T_2 = P \cdot \tan (\alpha). \)