Ниже представлена задача относящаяся к разделу определение сил реакций для одного тела, находящегося в равновесии.
Изображенная на рисунке консольная балка, на которую действует распределенная нагрузка \( q = 3 \mbox{ Н/м} \), сосредоточенная сила \( F = 4 \mbox{ Н} \) (под углом \( \alpha = \frac {\pi}{4} \), показанном на рисунке) и пара сил с моментом \( M = 2 \mbox{ Н} \cdot \mbox{м} \), находится в равновесии. Необходимо определить реакции заделки консольной балки. Известно, что расстояние \( a = 6 \mbox{ м} \), \( b = 3 \mbox{ м} \) .
Решение
Для нахождения искомых величин отбросим связи, наложенные на консольную балку, заменим их силами реакций:
Также для решения задачи необходимо заменить распределенную нагрузку \( \vec q \) сосредоточенной силой \( \vec Q \) :
\( \vec Q = \vec q \cdot a \ ; \\
Q = q \cdot a = 3 \cdot 6 = 18 \mbox{ Н}. \)
Получим свободное твердое тело, которое находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил:
Для нахождения неизвестных величин необходимо: Сформулировать и записать условия равновесия для произвольной плоской системы сил. Составить уравнения равновесия для имеющейся произвольной плоской системы сил. Решить полученные уравнения.
1. Сформулируем и запишем условия равновесия для произвольной плоской системы сил
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на
координатные оси равнялись нулю, и сумма моментов всех сил относительно произвольной точки, лежащей в плоскости
действия данных сил также равнялась нулю.
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{kx} = 0;
\sum\limits_{k=1}^{N} F_{ky} = 0;
\sum\limits_{k=1}^{N} m_{A}(\vec F_k ) = 0. \)
2. Составим равнения равновесия для имеющейся произвольной плоской системы сил
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{kx} = 0: X_A - F \cdot \cos (\alpha) = 0;\\ \sum\limits_{k=1}^{N} F_{ky} = 0: Y_A - Q + F \cdot \sin (\alpha) = 0;\\ \sum\limits_{k=1}^{N} m_{A}(\vec F_k ) = 0 : M_A - M - Q \cdot \frac{a}{2} + F \cdot \sin (\alpha) \cdot (a + b) = 0. \)3. Решим полученные уравнения
Из суммы проекций всех сил на ось \( x \) находим:
\( X_A = F \cdot \cos (\alpha) = 4 \cdot \cos(\pi /4) = 2.83 \mbox{ Н}. \)Из суммы проекций всех сил на ось \( y \) находим:
\( Y_A = Q - F \cdot \sin (\alpha) = 18 - 4 \cdot \sin(\pi /4) = 15.17 \mbox{ Н}. \)Из суммы моментов всех сил относительно точки А:
\( M_A = M + Q \cdot \frac{a}{2} - F \cdot \sin (\alpha) \cdot (a + b) = 2 + 18\cdot \frac{6}{2} - 4 \cdot \sin (\pi /4) \cdot (6 + 3) = 30.54 \mbox{ Н} \cdot \mbox{м}. \)Силу реакции в точке А определим по формуле:
\( R_A = \sqrt {X_A^2 + Y_A^2}=\sqrt {2.83^2 + 15.17^2} = 15.43 \mbox{ Н}. \)
Ответ
Реакции заделки консольной балки:
Исследуем зависимость искомых параметров от создаваемых нагрузок. Для этого предоставлена возможность комбинировать варианты условий задачи и, нажимая кнопку "Вычислить", получить результаты вычислений для выбранных параметров. Параметры должны быть выбраны во избежание ошибки расчетов.
Результаты вычислений:
Момент сил сопротивления \(M_A = \) 30.54 \(\mbox{ Н} \cdot \mbox{м} \), сила реакции \(R_A = \) 15.43
\( \mbox{ Н} \) (при составляющих \(X_A = \) 2.83 \(\mbox{ Н} \) и \(Y_A = \) 15.17
\( \mbox{ Н} \).
Вычисления выполнены при следующих условиях:
Сила \( F = \) 4.0 Н.
Нагрузка \( q = \) 3.0 Н/м.
Момент \( M = \) 2.0 Нм.