Ниже представлена задача относящаяся к разделу определение сил реакций для составного тела, находящегося в равновесии.
Если расчетные схемы плохо видны - рекомендуется открыть их отдельно в новом окне (или сохранить для
просмотра).
На гладкой горизонтальной плоскости расположена составная конструкция. Две части конструкции являются однородными, весом 100 Н каждая, соединены шарниром и невесомой нитью. На составной конструкции в точках E,D расположены точечные массы весом 80 Н и 40 Н соответственно. Определить натяжение нити и реакции в точках A,B,C, если известно: AB=BC=8 м, BD=AF=CG=1 м, EB=3 м, α=π⁄4.
Решение
Для нахождения искомых величин покажем активные силы: \( \vec {P}_{AB}, \vec {P}_{BC}, \vec {P}_E, \vec {P}_D \); разделим составную конструкцию на две части, отбросим связи и заменим их силами реакций: \( \vec {R}_{AB}, \vec {R}_C, T, X_B, Y_B \). Таким образом, получим два свободных твердых тела, которые находятся в равновесии под действием произвольной плоской системы сил.
Для нахождения неизвестных величин необходимо:
- сформулировать и записать для каждого тела условия равновесия для произвольной плоской системы сил;
- составить уравнения равновесия для имеющейся произвольной плоской системы сил;
- решить полученные уравнения.
Сформулируем и запишем условия равновесия для произвольной плоской системы сил:
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси x,y равнялись нулю, и сумма моментов всех сил относительно произвольной точки, лежащей в плоскости действия данных сил также равнялась нулю:
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{kx} = 0;
\sum\limits_{k=1}^{N} F_{ky} = 0;
\sum\limits_{k=1}^{N} m_{O}(\vec F_k ) = 0. \)
Составим уравнения равновесия для имеющейся произвольной плоской системы сил (для тел AB и BC).
Для тела AB:
Составим уравнения равновесия для имеющейся произвольной плоской системы сил:
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{kx} = 0 : X_B + T = 0; \)
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{ky} = 0 : Y_B - P_E - P_{AB} + R_A = 0; \)
\( \sum\limits_{k=1}^{N} m_{B}(\vec F_k ) = 0 : -R_A \cdot BA \cdot \cos \alpha + T \cdot (BA-AF) \cdot \sin \alpha +
P_{AB} \cdot \frac{AB}{2} \cdot \cos \alpha + P_E \cdot BE \cdot \cos \alpha = 0. \)
Для тела BC:
Составим уравнения равновесия для имеющейся произвольной плоской системы сил:
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{kx} = 0 : -X_B - T = 0; \)
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{ky} = 0 : -Y_B - P_D - P_{BC} + R_C = 0; \)
\( \sum\limits_{k=1}^{N} m_{B}(\vec F_k ) = 0 : R_C \cdot BC \cdot \cos \alpha - T \cdot (BC-AG) \cdot \sin \alpha -
P_{BC} \cdot \frac{BC}{2} \cdot \cos \alpha - P_D \cdot BD \cdot \cos \alpha = 0. \)
Решим полученные уравнения:
Ответ
Вычисления первоначально выполнены для исходных данных, после изменения они пересчитываются.
Исследуем зависимость искомых параметров от создаваемых нагрузок. Для этого предоставлена возможность комбинировать варианты условий задачи и, нажимая кнопку "Вычислить", получить результаты вычислений для выбранных параметров. Параметры должны быть выбраны во избежание ошибки расчетов.
Результаты вычислений:
Силы реакции равны \(R_A = \) 172.50 \( \mbox{ Н} \), \(T = \) 105.71
\( \mbox{ Н} \), \(X_B = \) -105.71 \( \mbox{ Н} \), \(Y_B = \) 7.50
\( \mbox{ Н} \), \( R_C = \) 147.50 \( \mbox{ Н} \).
Вычисления выполнены при следующих условиях:
Сила \( P_E = \) 80.0 Н.
Сила \( P_D = \) 40.0 Н.
Угол \( \alpha = \) 45 градусов.