Ниже представлена задача относящаяся к разделу определение сил реакций для одного тела, находящегося в равновесии.
Невесомый стержень \( AB \) длиной \( 2l \) опирается своими концами \( A \) и \( B \) на гладкие горизонтальный пол и вертикальую стену. В точке \( C \) к стержню подвешен груз \( P \), а в точке \( B \) на стержень действует горизонтальная сила \( S \). Определить величину силы \( S \), удерживающей стержень в равновесии под углом \( \alpha \) к горизонту, и реакции в точках \( A \) и \( B \), если \( AC = a \).
Решение
Для нахождения искомых величин отбросим связи (гладкие горизонтальный пол и вертикальная стена), наложенные на твердое тело, заменим их силами реакций (например, силой \( R_B \) в точке \( B \) и силой \( N_A \) в точке \( A \) ). Изобразим, для наглядности, расчетную схему для дальнейшего решения, указав на ней (из всех получившихся сил реакций после разрыва связей) только силы реакции, необходимые для решения задачи (силы реакций, действующие на рассматриваемое твердое тело). Также покажем вес груза \( P \) (заменив груз силой) и добавим координатные оси:
Для решения задачи изобразим свододное тело, находящееся под действием произвольной плоской системы сил:
Так как полученная система сил является произвольной плоской, то достачно составить три уравнения для нахождения неизвестных величин.
В качестве условий равновесия для составления уравнений выберем следующее: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно,
чтобы сумма проекций всех сил на выбранные координатные оси равнялась нулю, а также сумма моментов всех сил, относительной любой точки,
лежащей в плоскоси действия этих сил также равнялась нулю:
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{kx} = 0 \)
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{ky} = 0 \)
\( \sum\limits_{k=1}^{N} m_{O} (\vec{F}_k) = 0 \)
Система отсчета выбрана ранее, оси \( x \) и \( y \) обозначены на расчетной схеме.
В качестве моментной точки выерем ту, через которую проходят две силы - точку \( A \).
Запишем получившиеся уравнения:
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{kx} = 0 : R_B - S = 0 \)
\( \sum\limits_{k=1}^{N} F_{ky} = 0 : -P + N_A = 0 \)
\( \sum\limits_{k=1}^{N} m_{A} (\vec{F}_k) = 0 \) : \( P \cdot AC \cdot \cos \alpha - R_B \cdot AB \cdot \sin \alpha = 0 \)
Из последнего уравнения моментов относительно точки \( A \) находим:
\( R_B = P \frac{AC}{AB} \cot \alpha \)
Тогда из первого уравнения проекций, с учетом найденной силы реакции, можно найти силу \( S \) :
\( S = R_B = P \frac{AC}{AB} \cot \alpha \)
Последняя неизвестная сила реакции \( N_A \) может быть найдена из второ уравнения проекций на оси координат:
\( N_A = P \)
С учетом подстановки известных величин по условию задачи получаем:
\( R_B = P \frac{AC}{AB} \cot \alpha = P \frac{AC}{AB} \cot \alpha = P \frac{a}{2l} \cot \alpha \)
\( S = R_B = P \frac{AC}{AB} \cot \alpha = P \frac{AC}{AB} \cot \alpha = P \frac{a}{2l} \cot \alpha \)
\( N_A = P \)