Ниже представлена задача относящаяся к разделу определение сил по заданному движению.
Груз \( M \) массы \( 0.102 \: кг\) подвешенный на нити длины \( 30 \: см\) в неподвижной точке \( O \), представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол \( \pi / 3\). Определить скорость груза \( v \) и натяжение \( T \) нити. Также дополнительно исследуем зависимость искомых параметров от массы, длины и угла.
Решение
Изобразим схематично механическую систему описанную в условии задачи.
Для решения задачи воспользуемся естественными осями координат \( \tau, n, b \). Изобразим их на рисунке, а также покажем вектор скорости \( \vec{v} \) и расставим силы, действующие на несвободную материальную точку: силу тяжести \( m \vec{g} \) и натяжение нити \( \vec{T} \).
Запишем дифференциальное уравнение движения несвободной материальной точки в векторном виде:
\( m \vec{a}=m \vec{g}+\vec{T} \).
Тогда в проекциях на естественные оси координат \( \tau,n, b \) данное уравнение запишется следующей системой:
\( m a_{\tau}=0, \)
\( m a_{n}=T \sin{\alpha}, \)
\( 0=T \cos{\alpha}-mg. \)
Из первого уравнения данной системы следует, что скорость есть величина постоянная \( v=const \). Второе уравнение системы перепишем с учетом того, что нормальное ускорение \( a_n=v^2/R \). Из третьего уравнения выразим силу натяжения нити \( T \). Тогда данную систему уравнений можно переписать в следующей форме:
\( v=const, \)
\( m \frac{v^2}{R}=T \sin{\alpha}, \)
\( T=\frac{mg}{ \cos{\alpha} }. \)
Из последнего уравнения получившейся системы находим натяжение нити \( T \):
\( T=\frac{mg}{ \cos{\alpha} }=\frac{0.102 \cdot 9.8}{cos{\alpha}}=2 \: Н. \)Из второго уравнения получившейся системы вырази скорость \( v \):
\( v= \sqrt{ \frac{T \sin{\alpha}R}{m}} , \)или с учетом \( R=l\sin{\alpha} \) получим:
\( v= \sqrt{\frac{Tl}{m}} \sin{\alpha} = \sqrt{ \frac{2mgl}{m}}\sin{\alpha}=\sqrt{2gl}\sin{\pi/3} , \)
\( v= \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2.1 \: \frac{м}{с}. \)
Исследуем зависимость искомых параметров от массы, длины и угла. Для этого предоставлена возможность комбинировать варианты условий задачи и, нажимая кнопку "Вычислить", получить результаты вычислений для выбранных параметров. Параметры должны быть выбраны во избежание ошибки расчетов.
Результаты вычислений:
Натяжение нити \( T = \) 2.00000000000000 Н.
Скорость точки \( v = \) 2.10 м/с.