Ниже представлена задача относящаяся к разделу определения закона движения по имеющимся силам.
Определить минимальную начальную скорость \( v_0 \), которую нужно сообщить материальной точке массой \( m \), для того чтобы она двигаясь прямолинейно в сопротивляющейся среде прошла расстояние \( s \). Результирующую силу считать зависящей только от скорости точки, направленную противоположно начальной скорости и равной \( R=m(k^2v^2+1) \), \( k \) - постоянный коэффициент пропорциональности.
Решение
Изобразим схематично на рисунке материальную точку и покажем направление начальной скорости. Так как нам дана результирующая сила, изобразим, для удобства, движение вдоль горизонтальной прямой.
Направим ось \(x \) вдоль выбранной прямой, а также покажем скорость точки и результирующую силу:
Учтем, что нам задано движение материальной точки под действием силы, зависящей только от скорости точки, поэтому запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения материальной точки в следующем виде:
\( m \frac{d^2 x}{dt^2}=F_x(v) \).
В условии задачи сказано, что равнодействующая всех сил, действующих на точку \( R=m(k^2v^2+1) \), тогда дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки для нашего случая запишется в следующем виде:
\( m \frac{d^2 x}{dt^2}=-m(k^2v^2+1) \),
или
\( m \frac{d v}{d t}=-m(k^2v^2+1) \).
Умножим левую и правую часть на \( dx \) и получим:
\( m \frac{d v}{d t}dx=-m(k^2v^2+1)dx \),
или после сокращения на массу \( m \):
\( \frac{d v}{d t}dx=-(k^2v^2+1)dx \).
Учтем, что \( \frac{dx}{dt}=v \), тогда уравнение запишется в следующем виде:
\( vdv=-(k^2v^2+1)dx \).
Разделим обе части данного выражения на \( (k^2v^2+1) \), после чего получим:
\( \frac{vdv}{k^2v^2+1}=-dx \).
Проинтегрируем полученное выражение:
\( \int\limits_{v_0}^{0} \frac{v}{k^2v^2+1} \,dv=\int\limits_{0}^{s} \,dx \).
Умножим левую и правую часть на \( (2k^2) \) и внесем скорость \( v \) под знак дифференциала:
\( \int\limits_{v_0}^{0} \frac{1}{k^2v^2+1} \,d(k^2v^2+1)=\int\limits_{0}^{s} \,d2k^2x \).
После интегрирования получим:
\( \ln (k^2v^2+1) \Bigr|_{v_0}^{0} = -2k^2x \Bigr|_{0}^{s} \),
или, поменяв в левой части уравнения пределы интегрирования получим:
\( \ln (k^2v^2+1) \Bigr|_{0}^{v_0} = 2k^2x \Bigr|_{0}^{s} \),
после подстановки пределов интегрирования получим:
\( \ln (k^2v_0^2+1) - \ln(1) = 2k^2s \),
или с учетом того, что разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:
\( \ln (k^2v_0^2+1) = 2k^2s \).
Выполним переход от логарифма к подлогарифмическому выражению (выполним потенциирование данного уравнения), после чего получим:
\( k^2v_0^2+1 = e^{2k^2s} \),
отсюда выразим начальную скорость \( v_0 \):
\( v_0 = \frac{1}{k} \sqrt{e^{2k^2s}-1} \).
Исследуем зависимость искомых параметров от возможных вариантов задания различных параметров. Для этого предоставлена возможность ввести варианты условий задачи и, нажимая кнопку "Вычислить", получить результаты вычислений для выбранных параметров. Все параметры должны быть введены во избежание ошибки расчетов (при наличии незаполненного поля будет ошибка).
Используемые знаки: * умножить, ** cтепень, / делить, +, -, pi, sin(), cos()
Результаты вычислений:
Минимальная начальная скорость точки: \( v_0= 54.59 \: м/с \).
