Краткий пример по теме Относительное движение материальной точки. Пример для самостоятельной работы и подготовки к контрольным мероприятиям. Пример может также использоваться для проверки подобных задач по данной теме путем комбинирования вводимых параметров. Для внесения изменений в пример необходимо ввести данные во все поля, доступные для ввода.
Горизонтальная трубка вращается с постоянной угловой скоростью \( \omega, \: c^{-1} \) вокруг вертикальной оси. Внутри трубки на расстоянии \( y_0 \) от оси вращения находится точка массой \( m, \: кг\) . Определить скорость вылета точки в зависимости от пройденного точкой расстояния без учета трения. Длина трубки равна \( l, \) м.
Решение
Предварительно для дальнейшего решения задачи необходимо согласно условию задачи составить расчетные схемы. Изобразим схематично механическую систему: трубку с находящейся в ней материальной точкой, а также оси координат, начальное положение точки и угловую скорость трубки.
Покажем под действием каких сил находится механическая система. Изобразим возможные направления скоростей и положение точки.
На механическую систему действуют следующие силы: силы тяжести точки и трубки, силы реакции. Точка участвует в сложном
движении, поэтому для решения задачи запишем дифференциальное уравнение относительного движения точки:
\( m \frac{d \vec{v}_r}{dt}=\vec{F} + \vec{N} + \vec{Ф}_e\ + \vec{Ф}_к\).
В проекции на ось \( y \) дифференциальное уравнение примет вид:
\( m \frac{d v_r}{dt}=m \omega^2 y\).
Для решения данного уравнения домножим его на \( \frac{dy}{m}\), получим:
\( v_r dv_r = \omega^2 y dy \),
откуда, после интегрирования и преобразований получим:
\( v_r = \omega \sqrt{y^2-y_0^2}. \)
Построим график зависимости скорости точки от ее перемещения:
При построении графика использовались следующие значения::
\(m = 2 \:кг \) , \(\omega=8\: c^{-1}\), \(l=2\: м\), \(y_0=0.5 \:м\).
Значение скорости точки в момент вылета: \( v_r = \) 15.49, м/с.
При построении графика использовались следующие значения::
Для первого варианта:
\(m = 2.0 \:кг \) , \(\omega=2.0\: c^{-1}\), \(l=4.0\: м\), \(y_0=2.0 \:м\).
Значение скорости точки в момент вылета: \( v_r = \) 6.93, м/с.
Для второго варианта:
\(m = 4.0 \:кг \) , \(\omega=4.0\: c^{-1}\), \(l=8.0\: м\), \(y_0=4.0 \:м\).
Значение скорости точки в момент вылета: \( v_r = \) 27.71, м/с.