Пример d009 (Задача 11.8)

Краткий пример по теме Теорема об изменении кинетической энергии механической системы Пример для самостоятельной работы и подготовки к контрольным мероприятиям.

Диск радиуса \( r, \: м\), массу \( m, \: кг \) которого можно считать распределенной по его ободу вращается под действием постоянного момента \( M \). На диск действует также момент сил сопротивления, пропорциональный углу поворота и равный \( M_c=k \phi, \:Нм \), где \( k \) – постоянный коэффициент. Определить угловую скорость диска в зависимости от угла поворота, если известно, что в начальный момент времени диск находился в покое.

Решение

Для решения задачи запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме в общем виде:
\( T-T_0= \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) + \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: i}} \big). \)

В условии задачи нам сказано, что движется только одно твердое тело, которое в начальный момент времени находилось в покое, поэтому для нашего случая начальное значение кинетической энергии и сумма работ всех внутренних сил, действующих на механическую систему будет равна нулю:
\( T_0=0, \qquad \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: i}} \big) = 0. \)

Поэтому теорема об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме применительно к нашей задаче примет вид:
\( T= \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) . \)

Далее изобразим на рисунке силы, действующие на механическую систему, а также угловую скорость вращающегося твердого тела. На вращающийся диск действуют сила тяжести \( m \vec{g} \), вращающий момент \( M \) и момент сопротивления \( M_c \). Угловая скорость тела \( \omega \) будет направлена также как и вращающий момент, т.е. по часовой стрелке.

Вычислим кинетическую энергию механической системы. В нашем случае в движении принимает только одно тело, которое совершает вращательное движение. Поэтому для вычисления кинетической энергии будем применять формулу для вычисления кинетической энергии твердого тела, которое совершает вращательное движение:
\( T = \frac{I_z \omega^2}{2}. \)

Подставив в формулу момент инерции для окружности (так как по условию задачи сказано, что масса диска распределена по его ободу) \( I_z=mr^2 \), получим:
\( T = \frac{mr^2 \omega^2}{2}. \)

Далее вычислим сумму работ всех сил, действующих на механическую систему. В нашем случае на вращающееся тело действуют сила тяжести \( m \vec{g} \), а также моменты сил \( M \) и \( M_c \). Работа силы тяжести \( m \vec{g} \) равна нулю, так как сила приложена к неподвижному центру масс тела, поэтому сумму работ запишем в следующем виде:
\( \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) =A(M) + A(M_c). \)

Вычислим работу моментов этих сил. Момент \( M \), под действием которого диск поворачивается на угол \( \phi \) совершает положительную работу, поэтому его работа будет равна:
\( A(M) = M \phi . \)

Момент сопротивления \( M_c \), направлен противоположно вращению диска и совершает отрицательную работу, поэтому его работа будет равна:
\( A(M_c) = - \int_{0}^{\phi} M_c \,d \phi = -k \frac{\phi^2}{2} . \)

Тогда сумма работ всех внешних сил, действующих на механическую систему для нашего случая будет равна:
\( \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) =A(M) + A(M_c) = \) \( M \phi -k \frac{\phi^2}{2},\)
или, после преобразования:
\( \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) = 0.5(2M-k \phi)\phi.\)

Подставим найденные значения для кинетической энергии механической системы и суммы работ всех внешних сил, действующих на механическую систему в теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме применительно к нашей задаче:
\( \frac{mr^2 \omega^2}{2} = 0.5(2M-k \phi)\phi. \)
Выразим отсюда угловую скорость тела, получим:
\( \omega=\sqrt{\frac{(2M-k \phi)\phi}{mr^2}}. \)

Построим график зависимости угловой скорости от угла поворота:

При построении графика использовались следующие значения:
Для первого варианта:
\(m = 1.0 \:кг \) , \(M=1.0\:Нм\), \(k=1.0 \), \(r=1.0\: м\).
Для второго варианта:
\(m = 2.0 \:кг \) , \(M=2.0\:Нм\), \(k=2.0 \), \(r=2.0\: м\).
Для третьего варианта:
\(m = 3.0 \:кг \) , \(M=3.0\:Нм\), \(k=3.0 \), \(r=3.0\: м\).