Краткий пример по теме Теоремы о главном моменте количеств движения механической системы. Пример для самостоятельной работы и подготовки к контрольным мероприятиям. Пример может также использоваться для проверки подобных задач по данной теме путем комбинирования вводимых параметров. Для внесения изменений в пример необходимо ввести данные во все поля, доступные для ввода.
Горизонтальная трубка может свободно вращаться вокруг вертикальной оси. Внутри трубки на расстоянии \( y_0 \) от оси вращения находится точка массой \( m = 2 \: кг.\) В некоторый момент времени трубке сообщается начальная угловая скорость \( \omega_0 = 8 \: c^{-1} \). Определить угловую скорость трубки в зависимости от расстояния до оси вращения. Длина трубки равна 2 м, масса - 6 кг. Момент инерции трубки относительно оси вращения считать как для однородного стержня, трением пренебречь.
Решение
Предварительно для дальнейшего решения задачи необходимо согласно условию задачи составить расчетные схемы. Изобразим схематично механическую систему: трубку с находящейся в ней материальной точкой, а также оси координат, начальное положение точки и начальную угловую скорость трубки.
Покажем под действием каких сил находится механическая система. Изобразим возможные направления скоростей и положение точки.
На механическую систему действуют следующие силы: силы тяжести трубки и точки, а также силы реакции. Моменты
данных сил относительно оси вращения равны нулю, а следовательно, проекция главного момента количеств движения
рассматриваемой механической системы останется постоянной, т.е., имеет место закон
сохранения кинетического момента относительно оси вращения:
\( K_{z0}=K_z \).
В начальный момент трубка вместе с точкой вращаются с начальной угловой скоростью, тогда:
\( K_{z0}=I_z \omega_0 + m \omega_0 y_0^2. \)
В текущий момент трубка продолжает вращение, при этом точка движется вдоль трубки, тогда:
\( K_{z}=I_z \omega + m \omega y^2, \)
откуда:
\( \omega=\frac{Ml^2 +3my_0^2}{Ml^2+3my^2}\omega_0 = \frac{34}{y^2+4}. \)
Построим график зависимости угловой скорости трубки от перемещения точки::
При построении графика использовались следующие значения::
\(m = 2 \:кг \) , \(M=6\:кг\), \(\omega_0=8\: c^{-1}\), \(l=2\: м\), \(y_0=0.5 \:м\).
При построении графика использовались следующие значения::
Для первого варианта:
\(m = 2.0 \:кг \) , \(M=4.0\:кг\), \(\omega_0=2.0\: c^{-1}\), \(l=4.0\: м\), \(y_0=2.0 \:м\).
Для второго варианта:
\(m = 4.0 \:кг \) , \(M=8.0\:кг\), \(\omega_0=4.0\: c^{-1}\), \(l=8.0\: м\), \(y_0=4.0 \:м\).