Краткий пример по теме Теорема об изменении кинетической энергии механической системы Пример для самостоятельной работы и подготовки к контрольным мероприятиям.
Прямоугольный стальной параллелепипед массой \( m \), кг опускается под действием силы тяжести по наклонной бетонной поверхности. Определить скорость параллелепипеда в зависимости от угла наклона поверхности к горизонту \( \alpha \) когда его перемещение станет равным \( s \), м, если известно, что параллелепипед движется из состояния покоя, а коэффициент трения скольжения равен \( \mu=0.3 \).
Решение
Для решения задачи запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме в общем виде:
\( T-T_0= \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) + \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: i}} \big). \)
В условии задачи нам сказано, что движется только одно твердое тело, которое в начальный момент времени находилось в покое, поэтому для нашего случая начальное значение кинетической энергии и сумма работ всех внутренних сил, действующих на механическую систему будет равна нулю:
\( T_0=0, \qquad \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: i}} \big) = 0. \)
Поэтому теорема об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме применительно к нашей задаче примет вид:
\( T= \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) . \)
Далее изобразим на рисунке силы, действующие на механическую систему, а также скорости тел, участвующих в движении. На стальной параллелепипед, движущийся по бетонной поверхности действуют сила тяжести \( m \vec{g} \) и сила трения \( \vec{F}_{тр} \), для нахождения которой также изобразим силу реакции опоры \( \vec{N} \). Скорость тела \( \vec{v} \) будет направлена параллельно поверхности по которой движется груз.
Вычислим кинетическую энергию механической системы. В нашем случае в движении принимает только одно тело, которое движется поступательно. Поэтому для вычисления кинетической энергии будем применять формулу для вычисления кинетической энергии твердого тела, которое движется поступательно:
\( T = \frac{mv^2}{2}. \)
Далее вычислим сумму работ всех сил, действующих на механическую систему. В нашем случае на движущееся тело действуют две силы, совершающие работу. Это сила тяжести \( m \vec{g} \) и сила трения \( \vec{F}_{тр} \). Запишем сумму работ в следующем виде:
\( \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) =A(m \vec{g} ) + A(\vec{F}_{тр}). \)
Вычислим работу этих сил. Сила тяжести направлена под углом к перемещению твердого тела, причем проекция силы тяжести на перемещение будет величиной совпадать по направлению с перемещением, поэтому работа силы тяжести будет положительна и равна:
\( A(m \vec{g} ) = mg \sin{\alpha}s. \)
Работа силы трения проецируется на перемещение в натуральную величину, но направление силы трения противоположно перемещению тела, поэтому работа силы трения будет отрицательна и равна:
\( A(\vec{F}_{тр}) = -F_{тр}s, \)
или, с учетом того, что \( F_{тр}=\mu N \), а \( N=mg \cos{\alpha}: \)
\( A(\vec{F}_{тр}) = - \mu mg \cos{\alpha} s. \)
Тогда сумма работ всех внешних сил, действующих на механическую систему для нашего случая будет равна:
\( \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) =A(m \vec{g} ) + A(\vec{F}_{тр}) = \)
\( mg \sin{\alpha}s - \mu mg \cos{\alpha},\)
или, после преобразования:
\( \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) = mgs (\sin{\alpha} - \mu \cos{\alpha}).\)
Подставим найденные значения для кинетической энергии механической системы и суммы работ всех внешних сил, действующих на механическую систему в теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме применительно к нашей задаче:
\( \frac{mv^2}{2} = mgs (\sin{\alpha} - \mu \cos{\alpha}). \)
Выразим отсюда скорость тела, предварительно сократив на массу тела, получим:
\( v=\sqrt{2gs (\sin{\alpha} - \mu \cos{\alpha})}, \)
или с учетом того, что коэффициент трения скольжения \( \mu = 0.3 \):
\( v=\sqrt{2gs (\sin{\alpha} - 0.3 \cos{\alpha})}. \)
Построим график зависимости скорости от угла и перемещения:
