Краткий пример по теме Теоремы об изменении количества движения и движении центра масс механической системы. Пример для самостоятельной работы и подготовки к контрольным мероприятиям. Пример может также использоваться для проверки подобных задач по данной теме путем комбинирования вводимых параметров.
На одном конце плота массой \(m_1 , \: кг \) находящейся в покое стоит человек массой \(m_2 , \: кг \) который в некоторый момент начинает идти вдоль плота с постоянной относительной скоростью \( u \). Пренебрегая сопротивлением воды, определить скорость плота и расстояние на которое он переместится в зависимости от перемещения человека по плоту.
Решение
Предварительно для дальнейшего решения задачи необходимо согласно условию задачи составить расчетные схемы. Изобразим схематично механическую систему: человека и плот, находящийся на гладкой поверхности. Также выберем ось, вдоль которой будем рассматривать движение плота.
Покажем под действием каких сил находится механическая система. Изобразим возможные направления скоростей.
На механическую систему действуют три внешние силы: силы тяжести плота и человека, а также вертикальная сила реакции воды. Проекции внешних сил на выбранную горизонтальную ось равны нулю, а следовательно, проекция главного вектора количеств движения рассматриваемой механической системы при движении плота и человека останется постоянной, т.е., имеет место закон сохранения проекции на выбранную ось главного вектора количеств движения системы:
\( Q_{x0}=Q_x \).
В начальный момент плот и человек неподвижны, следовательно, проекция главного вектора количеств движения равна нулю:
\( Q_{x0}=0. \)
В текущий момент и плот и человек движутся. Скорость человека, на основании теоремы о сложении скоростей, складывается из переносной скорости лодки и относительной скорости человека, тогда:
\( Q_x=m_1v+m_2(v+u)=0, \)
откуда:
\( v=-\frac{m_2}{m_1+m_2}u. \)
Построим график перемещения и найдем значение скорости.
Для построения возьмем массу человека 70 кг, а массу плота 35, 70 и 140 кг, а скорость человека по плоту равную 2 м/с.
Построим график перемещения и найдем значение скорости.
Для построения возьмем массу человека 70 кг, а массу плота 35, 70 и 140 кг, а скорость человека по плоту равную 2 м/с.
Также предоставлена возможность самостоятельно исследовать зависимость искомых параметров от возможных вариантов задания различных параметров. Для этого предоставлена возможность ввести варианты условий задачи и, нажимая кнопку "Вычислить", получить результаты вычислений для выбранных параметров. Все параметры должны быть введены во избежание ошибки расчетов (при наличии незаполненного поля будет ошибка).
Используемые знаки: * умножить, ** cтепень, / делить, +, -, pi, sin(), cos()
Результаты вычислений:
При этом значения скоростей получились следующие::
При массе плота \( m_1 = 35 \: кг,\: v_e=\) 1.33 м/с.
При массе плота \( m_1 = 70 \: кг,\: v_e=\) 1.0 м/с.
При массе плота \( m_1 = 140 \: кг,\: v_e=\) 0.67 м/с.
При этом значения скоростей получились следующие::
При массе плота \( m_1 = 35.0 \: кг,\: v_e=\) 1.33 м/с.
При массе плота \( m_1 = 70.0 \: кг,\: v_e=\) 1.0 м/с.