Краткий пример по теме Теорема об изменении кинетической энергии механической системы Пример для самостоятельной работы и подготовки к контрольным мероприятиям.
Однородный цилиндр радиуса \( r \), м и массой \( m \), кг скатывается по наклонной плоскости. Определить угловую скорость цилиндра в зависимости от его угла поворота, если известно, что цилиндр движется из состояния покоя, угол наклона поверхности к горизонту равен \( \alpha \), а коэффициент трения качения равен \( \delta \), м.
Решение
Для решения задачи запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме в
общем виде:
\( T-T_0= \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) + \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: i}}
\big). \)
В условии задачи нам сказано, что движется только одно твердое тело, которое в начальный момент времени
находилось в покое, поэтому для нашего случая начальное значение кинетической энергии и сумма работ всех
внутренних сил, действующих на механическую систему будет равна нулю:
\( T_0=0, \qquad \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: i}} \big) = 0. \)
Поэтому теорема об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме применительно к
нашей задаче примет вид:
\( T= \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) . \)
Далее изобразим на рисунке силы, действующие на механическую систему, а также угловую скорость вращающегося твердого тела. На скатывающийся цилиндр действуют сила тяжести \( m \vec{g} \), сила реакции \( \vec{N} \) и момент трения качения \( M_{тр} \). Угловая скорость тела \( \omega \) будет направлена в сторону качения, т.е. против часовой стрелки.
Вычислим кинетическую энергию механической системы. В нашем случае в движении принимает только одно тело, которое совершает плоскопараллельное движение. Поэтому для вычисления кинетической энергии будем применять формулу для вычисления кинетической энергии твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение:
\( T =\frac{mv_с^2}{2} + \frac{I_{cz} \omega^2}{2}. \)
Подставив в формулу момент инерции для окружности (так как по условию задачи сказано, что масса диска
распределена по его ободу) \( I_{cz}=\frac{mr^2}{2} \) и скорость \( v_c=\omega r \), получим:
\( T = \frac{mr^2 \omega^2}{2} + \frac{ mr^2 \omega^2}{4} =\frac{3 mr^2 \omega^2}{4}. \)
Далее вычислим сумму работ всех сил, действующих на механическую систему. В нашем случае на цилиндр
действуют две силы, совершающие работу. Это сила тяжести \( m \vec{g} \) и момент трения качения \( M_{тр} \). Сумму работ запишем в следующем виде:
\( \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) =A(m \vec{g}) + A(M_{тр}). \)
Вычислим работу этих сил. Сила тяжести \( m \vec{g} \) под действием которой цилиндр движется совершает положительную работу, поэтому его работа будет равна:
\( A(m \vec{g}) = mg \sin{ \alpha} \phi r . \)
Момент трения качения \( M_{тр} \), направлен противоположно качению цилиндра и совершает отрицательную работу,
поэтому его работа будет равна:
\( A(M_{тр}) = -M_{тр} \phi = -N \delta \phi = - mg \cos{\alpha} \delta \phi . \)
Тогда сумма работ всех внешних сил, действующих на механическую систему для нашего случая будет равна:
\( \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) =A(m \vec{g}) + A(M_{тр}) = \)
\( mg \sin{ \alpha} \phi r - mg \cos{\alpha} \delta \phi,\)
или, после преобразования:
\( \sum\limits_{k=1}^N {A \big( \vec{F}_k^{\: e}} \big) = (mg \sin{ \alpha} r - mg \cos{\alpha} \delta) \phi.\)
Подставим найденные значения для кинетической энергии механической системы и суммы работ всех внешних сил,
действующих на механическую систему в теорему об изменении кинетической энергии механической системы в
интегральной форме применительно к нашей задаче:
\( \frac{3 mr^2 \omega^2}{4} = (mg \sin{ \alpha} r - mg \cos{\alpha} \delta) \phi. \)
Выразим отсюда угловую скорость тела, получим:
\( \omega=\sqrt{\frac{4(mg \sin{ \alpha} r - mg \cos{\alpha} \delta) \phi)}{3mr^2}}=
\frac{2}{r}\sqrt{\frac{( \sin{ \alpha} r - \cos{\alpha} \delta)g \phi)}{3}}. \)
Построим график зависимости угловой скорости от перемещения при различных углах наклона и радиусах:
При построении графика использовались следующие значения:
\(\delta = 0.1 \) .
\(g = 9.81 \) .
Значения углов и радиусов указаны на графике.
