Ниже представлена задача относящаяся к разделу определения закона движения по имеющимся силам.
Материальная точка массой \( m=2 \: кг \) движется прямолинейно под действием сил, равнодействующая которых \( F=12t+4 \). Определить закон движения точки, а также её скорость и координату в момент времени \(t=2 \: с \), если начальная скорость точки \(v_0=2 \: м/с \).
Решение
Изобразим схематично на рисунке материальную точку и покажем направление начальной скорости. Так как нам дана результирующая сила, изобразим, для удобства, движение вдоль горизонтальной прямой.
Направим ось \(x \) вдоль выбранной прямой, а также покажем скорость точки и результирующую силу:
Учтем, что нам задано движение материальной точки под действием силы, зависящей только от времени, поэтому запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки в следующем виде:
\( m \frac{d^2 x}{dt^2}=F_x \).
В условии задачи сказано, что равнодействующая всех сил, действующих на точку \( F=12t+4 \), тогда дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки для нашего случая запишется в следующем виде:
\( m \frac{d^2 x}{dt^2}=12t+4 \),
или
\( m \frac{d v}{d t}=12t+4 \).
Умножим левую и правую часть на \( dt \) и получим:
\( m dv=(12t+4)dt \).
Проинтегрируем полученное выражение:
\( \int\limits_{v_0}^{v} m \,dv=\int\limits_{0}^{t} \,dt \).
После интегрирования получим:
\( mv \Bigr|_{v_0}^{v} = \Bigl( \frac{12t^2}{2}+4t \Bigr) \Bigr|_{0}^{t} \),
или:
\( mv - mv_0 = 6t^2 + 4t \).
Перенесем в правую часть \( mv_0 \) и подставим в данное выражение исходные данные \(m=2 \: кг, \: v_0=2 \: м/с \), после чего получим:
\( 2v = 6t^2 + 4t + 2 \cdot 2 \),
или, после сокращения на 2 получим следующую зависимость скорости от времени:
\( v = 3t^2 + 2t + 2 \).
Найдем скорость точки в момент времени \( t = 2 \: с\) :
\( v(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 +2 =18 \: м/с \).
Для нахождения закона движения материальной точки запишем полученную ранее зависимость скорости от времени с учетом того, что \( v = \frac{dx}{dt} \):
\( \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 2t +2\).
Умножим левую и правую часть данного уравнения на \( dt \) и получим:
\( dx = (3t^2 + 2t +2)dt \).
Проинтегрируем полученное выражение:
\( \int\limits_{0}^{x} \,dx=\int\limits_{0}^{t} (3t^2+2t+2)\,dt \).
После интегрирования получим:
\( x \Bigr|_{0}^{x} = \Bigl( \frac{3t^3}{3}+ \frac{2t^2}{2} + 2t \Bigr) \Bigr|_{0}^{t} \),
или:
\( x = t^3 +t^2 + 2t \).
Найдем координату точки в момент времени \( t = 2 \: с\) :
\( x(2) = 2^3 + 2^2 +2 \cdot 2 =16 \: м \).
Исследуем зависимость искомых параметров от возможных вариантов задания различных параметров. Для этого предоставлена возможность ввести варианты условий задачи и, нажимая кнопку "Вычислить", получить результаты вычислений для выбранных параметров. Все параметры должны быть введены во избежание ошибки расчетов (при наличии незаполненного поля будет ошибка).
Используемые знаки: * умножить, ** cтепень, / делить, +, -, pi, sin(), cos()
Получившаяся задача: Материальная точка массой \( m= 2.0 \: кг \) движется прямолинейно под действием сил, равнодействующая которых \( F= 12*t + 4 \). Определить закон движения точки, а также её скорость и координату в момент времени \(t=2.0 \: с \), если начальная скорость точки \(v_0=2.0 \: м/с \), а начальная координата точки \(x_0=0.0 \: м \).
Результаты вычислений:
Закон изменения скорости: \( v= 3.0*t^2 + 2.0*t + 2.0 \).
Скорость точки в момент времени \( t= 2.0 \: с \): \( v( 2.0 )=18.00 \) м/с.
Закон движения: \( x= 1.0*t^3 + 1.0*t^2 + 2.0*t \).
Координата точки в момент времени \( t= 2.0 \: с \): \( x( 2.0 )= 16.00 \) м.
