Ниже представлена задача относящаяся к разделу определения закона движения по имеющимся силам.
Определить закон движения материальной точки массой \( m= 8 \:кг \), если известно, что точка движется прямолинейно под действием силы \( F=2x+2 \) и в начальный момент времени \( x_0=3 \: м, \: v_0=2 \: м/с \).
Решение
Изобразим схематично на рисунке материальную точку и покажем направление начальной скорости. Так как нам дана результирующая сила, изобразим, для удобства, движение вдоль горизонтальной прямой.
Направим ось \(x \) вдоль выбранной прямой, а также покажем скорость точки и результирующую силу:
Учтем, что нам задано движение материальной точки под действием силы, зависящей только от координаты точки, поэтому запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения материальной точки в следующем виде:
\( m \frac{d^2 x}{dt^2}=F_x(x) \).
В условии задачи сказано, что равнодействующая всех сил, действующих на точку \( F=2x+2 \), тогда дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки для нашего случая запишется в следующем виде:
\( m \frac{d^2 x}{dt^2}=2x+2 \),
или
\( m \frac{d v}{d t}=2x+2 \).
Умножим левую и правую часть на \( dx \) и получим:
\( m \frac{d v}{d t}dx=(2x+2)dx \),
Учтем, что \( \frac{dx}{dt}=v \), тогда уравнение запишется в следующем виде:
\( mvdv=(2x+2)dx \).
Проинтегрируем полученное выражение с учетом начальных условий:
\( \int\limits_{v_0}^{v} mv \,dv=\int\limits_{x_0}^{x} (2x+2) \,dx \),
или, после преобразования:
\( \int\limits_{v_0}^{v} v \,dv=2\int\limits_{x_0}^{x} (x+1)\,d(x+1) \).
После интегрирования получим:
\( \frac{mv^2}{2} \Bigr|_{v_0}^{v} = \frac{2(x+1)^2}{2} \Bigr|_{x_0}^{x} \),
Учтем, что масса точки известна \( m= 8 \:кг \), тогда после упрощения получим:
\( 4v^2 \Bigr|_{v_0}^{v} = (x+1)^2 \Bigr|_{x_0}^{x} \),
после подстановки пределов интегрирования получим:
\( 4v^2-4v_0^2=(x+1)^2-(x_0+1)^2 \),
или с учетом того, что \( x_0=3 \: м, \: v_0=2 \: м/с \):
\( 4v^2-16=(x+1)^2-16 \).
После преобразования получим:
\( v^2=\frac{(x+1)^2}{4} \),
тогда скорость точки будет равна:
\( v=\frac{x+1}{2} \).
Известно, что скорость точки \( v=\frac{dx}{dt} \), с учетом этого перепишем последнее уравнение в следующем виде:
\( \frac{dx}{dt}=\frac{x+1}{2} \).
Разделим переменные в получившемся дифференциальном уравнении:
\( \frac{dx}{x+1}=\frac{dt}{2} \).
Проинтегрируем полученное выражение с учетом начальных условий:
\( \int\limits_{x_0}^{x} \frac{1}{x+1} \,dx=\int\limits_{0}^{t} \frac{1}{2} \,dt \),
или, после преобразования:
\( \int\limits_{x_0}^{x} \frac{1}{x+1} \,d(x+1)=\int\limits_{0}^{t} \frac{1}{2} \,dt \).
После интегрирования получим:
\( \ln{(x+1)} \Bigr|_{x_0}^{x} = \frac{t}{2} \Bigr|_{0}^{t} \),
После подстановки пределов интегрирования получим:
\( \ln{(x+1)} - \ln{(x_0+1)} = \frac{t}{2} \),
или с учетом того, что \( x_0=3 \: м \), а разность логарифмов есть логарифм частного:
\( \ln{\frac{x+1}{4}} = \frac{t}{2} \).
Выполним переход от логарифма к подлогарифмическому выражению (выполним потенциирование данного уравнения), получим:
\( \frac{x+1}{4} = e^{\frac{t}{2}} \).
Выразив из этого уравнения \( x \), получим искомый закон движения материальной точки:
\( x = 4e^{\frac{t}{2}}-1 \).
Построим графики зависимости скорости от координаты \( v(x) \) и координаты от времени \( x(t) \):
